LeetCode875. 爱吃香蕉的珂珂

题目描述

本题目来自LeetCode上的『875. 爱吃香蕉的珂珂』

珂珂喜欢吃香蕉。这里有 n 堆香蕉，第 i 堆中有 piles[i] 根香蕉。警卫已经离开了，将在 h 小时后回来。

珂珂可以决定她吃香蕉的速度 k（单位：根/小时）。每个小时，她将会选择一堆香蕉，从中吃掉 k 根。如果这堆香蕉少于 k 根，她将吃掉这堆的所有香蕉，然后这一小时内不会再吃更多的香蕉。

珂珂喜欢慢慢吃，但仍然想在警卫回来前吃掉所有的香蕉。

返回她可以在 h 小时内吃掉所有香蕉的最小速度 k（k 为整数）。

示例1：

输入：piles = [3,6,7,11], h = 8
输出：4

题解

吃香蕉的速度具有单调性，且满足下面的条件，设当前速度为 s，此时耗时为 h：

小于 s 的速度，耗时要大于 h
大于等于 s 的速度，耗时要小于等于 h

因此可以使用二分法求解最小边界。

当 $x,k\in Z^+$ 时，有 $\lceil\frac{x}{k}\rceil=\lfloor\frac{x+k-1}{k}\rfloor$。

证明：
$$
x+k-1=\lfloor\frac{x}{k}\rfloor k+\lfloor\frac{(k-1)}{k}\rfloor k+x%k+(k-1)%k
$$

$$
\frac{x+k-1}{k}=\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+\lfloor\frac{(k-1)}{k}\rfloor+\frac{x%k+(k-1)%k}{k}
$$

$$
\lfloor\frac{x+k-1}{k}\rfloor=\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+\lfloor\frac{x%k+(k-1)%k}{k}\rfloor
$$

余数 $x%k\in[0,k-1]$，$(k-1)%k=k-1$，因此 $x%k+(k-1)%k\in[k-1,2k-2]$，只有当 $k\mid x$ 时，$\lfloor\frac{x%k+(k-1)%k}{k}\rfloor=0$，否则 $\lfloor\frac{x%k+(k-1)%k}{k}\rfloor=1$，有：
$$
\lfloor\frac{x+k-1}{k}\rfloor=\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+0\ or\ 1=\lceil\frac{x}{k}\rceil
$$

代码

class Solution {
private:
    int cal(const vector<int>& piles, int s) {
        int ans = 0;
        for (const auto& pile : piles) {
            ans += (pile + s - 1) / s;
            // ans += pile % s == 0 ? pile / s : pile / s + 1;
        }
        return ans;
    }
public:
    int minEatingSpeed(vector<int>& piles, int h) {
        int left = 1, right = *max_element(piles.begin(), piles.end());
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (cal(piles, mid) > h) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
};