LeetCode1175. 质数排列

题目描述

本题目来自LeetCode上的『1175. 质数排列』

请你帮忙给从 1 到 n 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 1 开始）上；你需要返回可能的方案总数。

由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 10^9 + 7 之后的结果即可。

示例1：

输入：n = 5
输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。

提示

• 1 <= n <= 100

题解

统计 $[1,n]$ 内素数个数 $primeCnt$，由于索引也是从 $1$ 开始，所以素数索引的个数与素数个数相等，问题就转化成 $primeCnt$ 个位置放 $primeCnt$ 个数，$n- primeCnt$ 个位置放 $n- primeCnt$ 个数，一共多少中情况。

代码

class Solution {
private:
    const int MOD = 1e9 + 7;
    typedef long long ll;
    ll A(ll n, ll m) {
        ll ans = 1;
        for (ll i = n - m + 1; i <= n; ++i) {
            ans = ans * i;
            ans %= MOD;
        }
        return ans;
    }
public:
    int numPrimeArrangements(int n) {
        int primeCnt = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            bool flag = true;
            for (int j = 2; j * j <= i; ++j) {
                if (i % j == 0) {
                    flag = false;
                }
            }
            if (flag) {
                ++primeCnt;
            }
        }
        int compositeCnt = n - primeCnt;
        return ((A(primeCnt, primeCnt) % MOD) * (A(compositeCnt, compositeCnt) % MOD)) % MOD;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：统计素数个数 $O(n^{1.5})$，求组合数 $O(n)$，总体复杂度 $O(n^{1.5})$
• 空间复杂度：$O(1)$